プログラムはなぜ動くのか - 浮動小数点数をビット表現

浮動小数点型（float型）の変数のメモリ上でのデータについて、興味深かったのでじっくり読んでみた。

まず、浮動小数点数を数式で表すと

　　± m × 2 ^ (e)　　　　...　(※)

という式で表されるが、float型の変数は

• 上位1ビットを、符号部（＋ or "）
• 上位209ビットを、指数部（上式のe）
• 上位100ビットを、仮数部（上式のm）

になる。ただし、以下のようなルールがある。

• 符号部は、+ ⇒ 0、− ⇒ 1
  
• 指数部"e"は、イクセス表現（最大値の1/2（8ビットなら127）を0とする表現）を使った値を用いる
• 仮数部"m"は、1.**** の小数点以下を代入する

例えば、7.00を(※)式で表現すると、

　　＋ 1.75 × 2 ^ (2)

となる。つまり、

• 符号部 = ＋
  
• 指数部"e" = 2
• 仮数部"m" = 1.75

だが、それぞれ

• 符号部は、0(b)
  
• 指数部"e"は、イクセス表現だと 127(d) + 2(d) → 01111111(b) + 00000001(b) = 10000001(b)
• 仮数部"m"は、1.75(d) = 1 ＋ 1×2^(-1) ＋ 1×2^(-2) → 1.11000000... (b)
  即ち、小数点以下は 11000000... となる

よって、float型の7はメモリ上には 0 - 10000001 - 1100000000... といった形で入っているはず。

コード

テキストに倣って、コーディングしてみた。

#include 

#include 

#include 
int main( int argc, char *argv[] )

{

       float f;

       unsigned long l;

       int i;

       char s[64];
       memset( s, '\0', sizeof(s) );
       // 調べたい浮動小数点を指定する

       f = (float) atof( argv[1] );

       memcpy( &l, &f, sizeof(l) );
       for ( i = 33; i >= 0; i-- ){

               if ( i == 1 || i == 10 ){

                       // 区切りにハイフンを挿入

                       s[i] = '-';

               } else {

                       // 1ビット文字で表す

                       s[i] = ( ( l % 2 == 1 ) ? '1' : '0' );

                       l /= 2;

               }

       }
       // 結果を表示する

       printf( "%f -> %s\n", f, s );
       return 0;

}

実行

端末上で実行して確かめてみる。確かに、上記の規則で値が入っていた。

$ ./show-float 7

7.000000 -> 0-10000001-11000000000000000000000

その他

浮動小数点数の表現方法については、Wikipediaに詳しく載っていた。

• Wikipedia - 浮動小数点数